Ciągi liczbowe

Mogłoby się wydawać, że ciągi liczbowe, które chyba każdy przerabiał na lekcjach matematyki, to tylko i wyłącznie narzędzie dręczenia uczniów. Ale czy na pewno?

Data dodania: 2011-02-09

Wyświetleń: 3607

Przedrukowań: 0

Głosy dodatnie: 3

Głosy ujemne: 0

WIEDZA

3 Ocena

Licencja: Creative Commons

Niewielu z nas wie, że tak naprawdę najpierw była przyroda - rządząca się pewnymi regularnymi zależnościami, do opisywania których użyto ciągów liczbowych. W ludzkiej naturze jest coś, co każe nam znajdować prawidłowości w otaczającym nas świecie. Tę zdolność wykorzystują graficzne łamigłówki w testach na inteligencję, gdzie niektóre z elementów cyklicznie przemieszczają się w określony sposób. Dzisiaj postaram się jak najmniej pisać o teorii, a jak najwięcej o przydatnej umiejętności jaką są działania na ciągach.

Kosmiczny ciąg liczb

W tabelce poniżej przedstawiono średnie odległości od Słońca sześciu najbliższych planet. Jako jednostkę odległości przyjęto 1/10 jednostki astronomicznej (czyli 1/10 średniej odległości ziemi od słońca)

planeta średnia odległość 
od słońca
Merkury 4
Wenus 7
Ziemia  10
Mars 16
Jowisz 52
Saturn 100


W 1772r. niemiecki astronom Daniel Titius zauważył, że gdyby między liczby 16 i 52 wpisać jeszcze liczbę 28, to otrzymany ciąg można by opisać prostą regułą:

Ku zaskoczeniu astronomów, dzięki znacznie późniejszym obserwacjom, znaleziono między Marsem a Jowiszem pas planetoid, którego odległość od słońca odpowiada w tym ciągu liczbowym liczbie 28.


1


Ciąg liczb o niezwykłych własnościach


W roku 1202 Leonardo z Pizy, zwany Fibonaccim, opublikował słynną "Księgę abaku", w której spisał ówczesną wiedzę matematyczną. W jednym z zadań tej księgi rozważał pewien ciąg, który (jak się później okazało) ma niezwykłe własności. W ciągu Fibonacciego pierwszy i drugi wyraz to 1, a każdy następny jest sumą dwóch poprzednich. Zatem:

2


Okazuje się, że w różnych zjawiskach przyrodniczych można dostrzec ciąg Fibonacciego. Ciekawe jest to, że ciąg ten jest ściśle związany ze stosowanym przez artystów tzw. "złotym podziałem" i wynikającą z niego "złotą liczbą"

3

Można bowiem wykazać, że wzór ogólny ciągu Fibonacciego jest następujący:


4

Zadanie matematyczne z ciągiem fibonacciego


Jeżeli krowa rodzi swoje pierwsze cielę-jałówkę w wieku dwóch lat, a potem nową jałówkę każdego roku, to ile krów będzie po 12 latach - przy założeniu, że żadna nie padnie?
To zadanie podał znany twórca łamigłówek H. Dudeney. Przyjął on, że każda jałówka po 2 latach także zacznie rodzić cielęta - jałówki. Sprawdź, że liczby krów w kolejnych latach tworzą ciąg Fibonacciego.


Jak szybko może się rozprzestrzeniać łańcuszek szczęścia


Załóżmy, że operator pewnej sieci komórkowej wysłał do stu swoich klientów SMS o treści:
SMS-owy łańcuszek szczęścia. Jutro rano wyślij ten SMS do czterech osób. Wkrótce spotka cię coś bardzo miłego. Nie przerywaj łańcuszka! Jacek L. przerwał i wypadły mu włosy. Te same włosy wyrosły dotąd łysemu Marcinowi K, który łańcuszka nie przerwał.
Załóżmy też, że każda osoba, która otrzymała taką wiadomość zastosowała się do polecenia i wysłała cztery SMS-y. W takim razie każdego dnia wysłano takich SMS-ów 4 razy więcej niż dnia poprzedniego. Zatem w ciągu kolejnych dni liczba wysłanych SMS-ów wyniosła:


5

Łatwo zauważyć, że dziesiątego dnia liczba wysłanych SMS-ów wyniosłaby 100*^9, czyli ponad 26 miliardów.

Licencja: Creative Commons
3 Ocena