Wraz z przybliżaniem się do niej widać coraz wyraźniej kolejne piętra, czyli takie dziedziny, jak na przykład teoria funkcji, różniczkowanie i całkowanie, rachunek prawdopodobieństwa, teoria gier, algebra, topologia, itd.
Liczba różnych działów matematyki wciąż rośnie. Dzieje się tak zarówno z powodu specjalizacji badań (czyli rozwoju szczegółowych dziedzin, zawierających się w dziedzinach dotychczas istniejących), jak również z powodu odkrywania nowych dziedzin, które wiążą ze sobą zagadnienia już istniejące (lecz traktowane jako odległe) lub całkowicie wykraczają poza dotychczasową wiedzę. W związku z tym trudno określić przedmiot matematyki: nie są to już tylko liczby i kształty, lecz także przestrzenie, zbiory, funkcje, odwzorowania, diagramy, procesy,...
We wszystkich swoich działach matematyka przejawia się jako charakterystyczna metoda podejścia do stawiania i rozwiązywania zagadnień, czyli po prostu pewien określony sposób myślenia.
Warto zauważyć, że słowo „matematyka”, czyli μαθηματική [mathēmatikē] pochodzi od starogreckich słów μάθημα [máthēma] oraz μάθησις [máthēsis], oznaczających naukę, uczenie się, których źródłowy czasownik μανθάνω [manthánō] oznaczał przede wszystkim „uczę się przez rozmyślanie”, w odróżnieniu od uczenia się przez doświadczenie. Myślenie matematyczne jest przede wszystkim abstrakcyjne.
Polega ono na operowaniu abstrakcyjnymi pojęciami przy pomocy których dokonuje się wyrażania (reprezentacji) konkretnych problemów. Dzięki temu można rozwiązywać te problemy w oderwaniu od nieistotnych szczegółów.
Przykładem zastosowania tej metody jest wyabstrahowanie liczb "1" i "2" oraz działania "+" ze
skomplikowanej sytuacji w rodzaju "pod drzewem jabłko i jabłko, na polu owca i owca, a ja jestem głodny".
Polega ono na znalezieniu oderwanych od konkretu (jabłek lub owiec) abstrakcyjnych pojęć:
"jeden", "dwa", "dodać",
oraz reprezentacji symbolicznej pod postacią napisów
"1", "2" i "+",
wraz z działaniem
"jeden dodać jeden to dwa" ,
symbolicznie reprezentowanym jako "1 + 1 = 2". Dodawanie chmur czy też baranów (lub bananów) możesamo w sobie nie ma wielkiego znaczenia praktycznego, lecz zyskuje je w połączeniu z pozostałymi operacjami na liczbach (odejmowanie, mnożenie, dzielenie).
Tak otrzymany zbiór liczb naturalnych (lub całkowitych) wraz z określonymi na nim operacjami elementarnymi występuje w roli podstawowego zastosowania matematyki w praktyce i może posłużyć jako model matematycznego myślenia. Wbrew pozorom nie jest to przykład banalny – mimo, że współcześnie używamy arytmetyki liczb rzeczywistych (a przynajmniej wymiernych) wiele razy dziennie, to jej opracowanie zajęło całe tysiąclecia.
Poza abstrakcyjnością, umożliwiającą upraszczanie realnych sytuacji do takich, które dają się rozwiązać, bardzo ważną cechą myślenia matematycznego jest podejście dedukcyjne. Jest to rodzaj wnioskowania, w ramach którego możemy wyprowadzać wyłącznie takie wnioski, które są wynikiem zastosowania ustalonych
reguł do zbioru określonych aksjomatów i definicji.
Jest to podejście istotnie odmienne od stosowanego w naukach przyrodniczych podejścia indukcyjnego, w ramach którego można wyprowadzać wnioski ogólne ze szczególnych przypadków lub intuicyjnych przesłanek. Przykładem zastosowania podejścia dedukcyjnego jest wywnioskowanie że
2 + 2 = 4,
w oparciu o definicję pojęcia liczby naturalnej oraz własności działania dodawania (łączność).
Przykładem zastosowania podejścia indukcyjnego jest zaś wnioskowanie, iż wszystkie krowy są czarne po zobaczeniu kilku takich krów i ani jednej krowy, która nie byłaby czarna. Rozumowanie indukcyjne umożliwia formułowanie hipotez, przyrodniczych lub humanistycznych, które uogólniają to co wiemy na obszar tego co nie wiemy, lecz ceną jaką się za to płaci jest stopień pewności otrzymanych wniosków.
Wyniki rozumowania indukcyjnego nie są pewne, lecz jedynie prawdopodobne.
Natomiast stosując rozumowanie dedukcyjne mamy zagwarantowaną absolutną pewność otrzymanych wniosków. Jednak nie jest to pewność absolutna, a jednie pewność w ramach abstrakcyjnego modelu, to znaczy pod warunkiem, że definicje i aksjomaty przyjęte za przesłanki wnioskowania dedukcyjnego są spełnione.
Ponieważ tłumaczenie konkretnych realiów jakiejkolwiek badanej sytuacji na abstrakcyjny język modelu zawsze wiąże się z pewnego rodzaju idealizacją, stosowanie rozumowania dedukcyjnego nie zapewnia pewności tego, że jego wyniki będą praktycznie stosowalne. Daje jednak teoretyczną pewność, na poziomie wyidealizowanych struktur i modeli. Podejście dedukcyjne nie jest ani "lepsze" ani "bardziej prawdziwe" od podejścia indukcyjnego, jest jednak bardziej precyzyjne i jednoznaczne, gdyż z określonych przesłanek (aksjomatów, definicji) i reguł wnioskowania (zazwyczaj jest to logika klasyczna) wynika zawsze ten sam wniosek, podczas gdy w podejściu indukcyjnym tego typu zasada nie jest obowiązkowo spełniona.
Wybór któregokolwiek z tych podejść zależy od celu który sobie stawiamy. Zazwyczaj przy konstruowaniu pewnych modeli teoretycznych ich podstawowe założenia i pojęcia formułuje się na drodze indukcyjnej, zaś wnioski wyprowadza się już metodą dedukcyjną.
Dzięki abstrakcyjności i dedukcyjności matematyka może występować pod postacią symbolicznego języka w ramach którego można stawiać i formułować rozmaite zagadnienia. Zapis symboliczny umożliwia (dzięki metodzie dedukcyjnej) analizowanie problemów przez przekształcenia pewnych symboli (liczb, figur, diagramów, itd.) zgodnie z jednoznacznie określonymi regułami. W ten sposób wkładając określone treści w jakiś matematyczny model danej sytuacji, z pewnością dojdziemy do zawsze takich samych wniosków, które z kolei możemy znów przełożyć na konkretne treści badanego zagadnienia. W gruncie rzeczy na tym właśnie polega istota matematycznego modelowania dowolnych procesów – czy to w fizyce i biologii, czy to w psychologii lub ekonomii. We wszystkich tych przypadkach wykorzystujemy matematykę jako uniwersalne narzędzie symbolicznego, abstrakcyjnego i dedukcyjnego modelowania zjawisk.
Metody matematyczne można zastosować w praktycznie każdej dziedzinie, w której mamy do czynienia z takimi pojęciami jak wielkość (lub liczba), struktura, przestrzeń i zmiana. Ogólne działy współczesnej matematyki zajmujące się tymi pojęciami to odpowiednio arytmetyka, algebra, geometria oraz analiza. Jest to podział jedynie przybliżony i niepełny, między innymi dlatego że w rzeczywistości istnieje bardzo dużo obszarów matematyki pośrednich pomiędzy powyższymi, lub zupełnie z nimi niewspółmiernych.
Na przykład geometria algebraiczna zajmuje się badaniem obiektów geometrycznych metodami algebraicznymi, geometria różniczkowa bada obiekty geometryczne metodami analizy, zaś na przykład teoria gier jest działem matematyki, który w zasadzie wykracza poza powyższy czwórpodział.
Ścisła aksjomatyzacja takich teorii i związanych z nimi metod rozwiązywania łamigłówek ma zazwyczaj zarówno aspekty analityczne jak i algebraiczne, jednak są to działy matematyki w istotnym stopniu niezależne od pozostałych. Matematyka jest bowiem otwartą dyscypliną wiedzy i twórczości, stąd w jej ramach powstają coraz to nowe pojęcia, teorie i techniki, umożliwiające bogate modelowanie rozmaitych zjawisk. Dlatego warto mieć na uwadze matematykę jako narzędzie, język i sposób modelowania konkretnych problemów w każdej sytuacji praktycznej. Z drugiej strony, prowadzi to do pytania o ramy określające granice tej dyscypliny oraz jej zmienność.
