W tym systemie znak jedynki może oznaczać 1, 60, 60*60 itd. Tak samo, w zależności od miejsca znaku dziesiątki, może oznaczać 10, 10*60, 10*60*60, 10*60*60*60 itd. Babilończycy mieli coś w rodzaju symbolu, którym wyrażali zero.
Aby wyrazić brakujące miejsce, pisali dwa pochyłe znaki jedynki. Babilończycy używali także ułamków zwykłych i sześćdziesiątkowych (o mianownikach 60 i jego potęgach), które pisali tak, jak piszemy ułamki dziesiętne. Babilończycy potrafili wykonywać cztery działania arytmetyczne na liczba naturalnych i ułamkowych. Umieli obliczać procenty, dzielić liczbę na części proporcjonalne. Z dziedziny geometrii wiedzieli tyle, ile trzeba było dla miernictwa i budownictwa; umieli obliczać pola figur ograniczonych odcinkami, np. pola trójkątów i czworokątów.
GRECJA I RZYM
Cyfry rzymskie są powszechnie znane i są używane jeszcze obecnie, między innymi na tarczach zegarowych, w inskrypcjach na tablicach pamiątkowych, w numeracji kart książek itp. Większości z was wiadomo, że np. L oznacza 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Symbole M i C są początkowymi literami słów: "centum" - 100 i "mille" - 1000. Symbole L i D są prawdopodobnie również początkowymi literami słów, ale słowa te nie zachowały się. Za pomocą cyfr Rzymianie pisali liczby, stosując zasadę dodawania lub odejmowania, np: LX = 60 (50+10), XL = 40 (50-10), CM = 900 (1000-100), MC = 1100 (1000+100).
Opis cyfr rzymskich
I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Rzymianie, podobnie jak Babilończycy, używali ułamków o mianowniku 60 oraz o mianownikach 12; 24 i 48, a zatem: 1/24 jest połową, a 1/48 jest 1/4 częścią 1/12.
Rzymscy szkolarze uczyli się ułamków w związku z liczeniem pieniędzy, z używaniem miar i wag. Rzymska moneta "as", początkowo bita z miedzi, ważyła 1 funt i dzieliła się na 12 uncji. Istniała specjalna nazwa "deunx" dla wyrażenia 11/12 (deunx = de uncia), czyli as bez jednej uncji. Rzymianie potrafili liczyć w pamięci , jednak ułatwiali to sobie za pomocą abaka (abacus), tj. deski podzielonej na kolumny pionowe, po których przesuwano kamyki albo specjalne liczmany. System grecki Grecy stosowali dwa sposoby zapisywania liczb: joński i ateński. Sposobem jońskim liczby wyrażano literami alfabetu. Jednak aby odróżnić liczbę od słowa, pisali nad nim kreskę. tym sposobem prawdopodobnie posługiwali się mieszkańcy Miletu, Aleksandrii oraz regionów greckich pozostających pod wpływem kultury tych miast.
Prawdopodobnie cyframi jońskimi posługiwali się Tales, Euklides, Archimedes, Apollinos, Heron i inni uczeni i filozofowie działający w Aleksandrii i Małej Azji. Cyfry hinduskie aktualnie używane liczby to tak na prawdę cyfry hinduskie. Narody europejskie poznały je dzięki arabom. Sławny matematyk Leonardo Fibonacci z Pizy jako pierwszy podał je w swoim wielkim dziele Liber Abaci (Księga abaku) wydanym w 1202 r. Polska była jednym z pierwszych krajów, który wprowadził u siebie cyfry hinduskie, a było to w XIV stuleciu. Arytmetyka oparta na użyciu cyfr hinduskich była u nas wykładana w Akademii Krakowskiej.
EGIPT
Prawie tak samo stare jak babilońskie są cyfry egipskie. Do wyrażania swoich myśli i słów stosowali hieroglify. Uproszczone pismo hieroglificzne nazywamy pismem hieratycznym. W obu rodzajach pism Egipcjanie mieli specjalne znaki dla cyfr. Egipcjanie najpierw pisali liczby wyższego rzędu, a następnie niższego rzędu. Stosowali przy tym zasadę dodawania lub mnożenia.
Egipcjanie posługiwali się także ułamkami. Wszystkie egipskie ułamki miały w liczniku 1, innych ułamków nawet nie umie wymówić (wyjątkiem jest ułamek 2/3). Ułamki pisali tak jak liczby naturalne umieszczając na nimi kropkę, przy czym dla 1/2 i dla 2/3 mieli oddzielny znak. Aby zapisać pewien ułamek przedstawiali go w postaci sumy ułamków o licznikach 1. Np. 23/40 przedstawiali jako sumę 1/4+1/5+1/8=23/40. Głównym źródłem wiedzy o liczbach egipskich jest papirus Ahmesa (około 2000-1700 p.n.e.)-pisarza faraona, znaleziony w 1853 roku. Rozumowanie Egipcjan było dość proste. Jeżeli 23 chleby podzielimy między 40 osób, to każda otrzyma 1/4,1/5 i 1/8 jednego bochenka.
