Matematyka w pokerze

To wszystko pozwala ocenić jakość naszej gry i wprowadzić niezbędne poprawki. Matematyka pokazuje nam, jak grać i większość pokerzystów wie, że ona się nie myli, nie da się jej oszukać. W tej serii będę starał się pokazać ciekawsze oblicze zastosowań matematyki w pokerze. Zastępuję pytanie: „Jak grać w pokera?”, na rzecz pytania: „Dlaczego grać?”. Postaram się przedstawić aspekty nieco wyższej matematyki w jak najbardziej przystępny sposób.

Bilans gry gracza jako zmienna losowa.

Zmienna losowa? A co to takiego? Ludzie do opisu zjawisk używają pojęć, nie inaczej jest w matematyce. Zmienna losowa to jedno z podstawowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa – działu matematyki, którym będziemy się zajmować w tej serii artykułów. Wielu z nas słyszało o pojęciu wartości oczekiwanej, ale niewielu o zmiennych losowych. Tymczasem okazuje się, że zmienna losowa jest pojęciem poprzedzającym pojęcie EV i dlatego zaprzyjaźnienie się z tym określeniem jest konieczne do prawidłowego rozumienia pojęcia EV. Zmienna losowa może zostać nazwana przyporządkowaniem pewnym sytuacjom (które zdarzają się z określonym prawdopodobieństwem) konkretnych liczb.  Bardzo ważne jest to, żeby opisując zmienne losowe wziąć pod uwagę wszystkie możliwe sytuacje i dobrać je tak, aby zawsze zaszła dokładnie jedna z nich. Matematycznie rzecz ujmując suma prawdopodobieństw zdarzenia się wszystkich sytuacji musi wynosić 100%, czyli 1. Przedstawmy kilka przykładów.

Najprostszym przykładem do wykorzystania zmiennej losowej jest opis wyniku rzutu monetą. Załóżmy, że do wyniku w postaci orła przyporządkujemy liczbę 1 a do reszki „-1”. Jeżeli naszą zmienną nazwiemy „M” (od monety – nazwy zmiennych losowych oznacza się w matematyce wielkimi literami), to proces rzutu możemy opisać następująco (jest to rozkład zmiennej M): M ~ {(1, ½ }, (-1, ½)}. Taki zapis oznacza, że zmienna M przyjmie wartość 1 w 50% oraz -1 również w 50%.

Innym przykładem może być rzut kostką – każdej ściance przyporządkowana jest liczba od 1 do 6, każda wypadnie z prawdopodobieństwem 1/6 i nie zdarzy się sytuacja, w której wypadną dwie naraz. Mamy więc 6 możliwych sytuacji, po 1/6 każda. Jeżeli zmienną opisującą wynik rzutu kostką nazwiemy K, to jej rozkład wygląda następująco: K ~ {(1, 1/6), (2, 1/6), (3, 1/6), (4, 1/6), (5, 1/6), (6, 1/6).

Kolejnym przykładem może być tradycyjna ruletka i zakład 1 $ na konkretną liczbę. Niech wynik finansowy w tym przypadku opisuje zmienna R. Jej rozkład jest bardzo prosty:
R  ~ {(-1 $, 36/37), (35 $, 1/37)}.

Czy poker to tylko bardziej skomplikowany rzut monetą?

Na początek rozważmy skrajnie uproszczony przypadek. Rozważmy gracza na pozycji UTG (stolik sześcioosobowy), który postanowił zagrać z wpisowym 50 BB i gra all-in z asami oraz pasuje wszystkie inne układy. Dla jeszcze większego uproszczenia sytuacji przyjmijmy, że gracz jest sprawdzany przez któregokolwiek z graczy (i tylko jednego z nich) w 10% przypadkach oraz jego equity wówczas wynosi 85%. Niech zmienna V (ang. value) opisuje wynik gry gracza posługującego się powyższą strategią. Mogą wystąpić następujące sytuacje:

1)      V= 0. Gracz pasuje. Prawdopodobieństwo: 1320/1326 = 13200/13260.
2)      V= 1,5 BB. Gracz zbiera blindy. Prawdopodobieństwo: 6/1326 * 9/10 = 54/13260.
3)      V= 51,5 BB. Gracz zostaje sprawdzony i wygrywa pulę (sytuację, gdy zostaje sprawdzony z blindów, również przybliżamy do tej - wówczas V= 51 BB bądź 50,5 BB). Prawdopodobieństwo: 6/1326 * 1/10 * 85/100 = 510/1326000 = 51/132600
4)      V= -50 BB. Gracz wchodzi za wszystko i przegrywa. Prawdopodobieństwo:
 6/1326* 1/10 * 15/100= 90/1326000 = 9/132600.

Zauważmy, że nie jest możliwe zajście żadnych dwóch sytuacji z powyższych 4 jednocześnie. Pozostaje sprawdzić, czy suma prawdopodobieństw wynosi 1:

13200/13260 + 54/13260 + 51/132600 + 9/132600 = 13254/13260 + 60/132600 = 1.

Więc V w omówionej sytuacji jest zmienną losową. Jej rozkład można opisać następująco:

V ~ {(0, 1320/1326) , (1,5BB, 54/13260), (51,5BB, 51/132600), (-50BB, 9/132600).

Wyobraźmy sobie teraz, że jesteś na UTG i grasz z tej pozycji 20% układów startowych oraz średnio pasujesz 60% do 3beta. Niech szansa na to, że ktokolwiek cię przebije, wynosi 50%. Niech wynik finansowy tego rozdania ponownie opisuje zmienna V. Rozważmy najbardziej prawdopodobne scenariusze:

1)      V= 0. Pasujesz. Prawdopodobieństwo: 80%.
2)      V= 1,5 BB. Zgarniasz blindy. Prawdopodobieństwo: 20%*50% = 10%.
3)      V= -3 BB. Po otwarciu do 3BB spasowałeś do 3beta.
Prawdopodobieństwo: 20% * 50% * 60% = 6%.

Pozostałe 4 % będą to wyniki wahające się od -100BB do 500BB (np. 6 graczy, wszyscy mają po 100BB, wchodzą all-in i twoje AA utrzymuje się do rivera) uzyskiwane z bardzo małymi prawdopodobieństwami. Dla matematyka nie ma znaczenia, jakie są szanse poszczególnych wyników, a tylko to, że da się je określić i w sumie te szanse dadzą 100%. Innymi słowy siadając do rozdania możesz być przekonany, że na pewno "coś" się wydarzy – wygrasz, przegrasz, wyjdziesz na zero, padnie ci internet albo wysiądą korki – wszystko zakończy się wynikiem finansowym według pewnego prawdopodobieństwa.

Podobnie ma się sprawa z większą liczbą rozdań jak i z większą liczbą rzutów kostką, np. dla dwóch rzutów mamy 11 możliwych wyników sum (od 2 do 12) z prawdopodobieństwami opisanymi poniżej:
 

Wróćmy do pokera. Jeżeli jedno rozdanie miało np. 6001 możliwych wyników (stawki NL10 - wszystkie możliwe wyniki od -10 $ co 0,01 $ do 50 $) to dwa będą miały 12001 możliwych wyników, z których dalej najbardziej prawdopodobnym będzie bilans zerowy (chyba że grasz VPIP 50%).  Ten proces możemy kontynuować. Dla nas końcowym wnioskiem z tego artykułu jest fakt, że dla dowolnej ilości rozdań ich bilans jest zmienną losową, co oznacza, że poszczególne rezultaty osiągamy z odpowiadającymi im prawdopodobieństwami, które w sumie dadzą 100%.

Reasumując bilans gry gracza rozumiany jako zmienna losowa rzeczywiście jest pod tym względem podobny do rzutu monetą bądź kostką - jest tylko bardziej skomplikowany. Matematycznie rzecz ujmując, ma bardziej złożony rozkład. Trzeba sobie jednak zdać sprawę, że nie dotyczy to tylko pokera - zmienną losową można opisać prawie wszystkie zjawiska, jakie nas otaczają - wypłatę pracownika zatrudnionego na etacie, prognozę temperatury na dowolny przyszły dzień, czas dojazdu do pracy oraz wiele innych. Wszak wszystko dzieje się z pewnym prawdopodobieństwem. Te przykłady posiadają jednak zasadnicze różnice. Podstawowymi z nich są wartość oczekiwana (z ang. expected value) omawianych zmiennych, ich odchylenie standardowe i nasz wpływ na te wartości. Tymi aspektami zajmiemy się w kolejnych artykułach.