Procent składany, czyli dlaczego 300% w 10 lat to nie 30% rocznie?
Każdy tzw. doradca finansowy (m.in. ze znanej grupy, której tutaj nie wymienię choć powinienem, ponieważ ich główne działania polegają na naciąganiu klientów na idiotyczne produkty inwestycyjne, na których mogą jedynie stracić i nękanie ciągłymi telefonami) powie Ci, że jeżeli dana inwestycja zarobiła w 10 lat 300%, to rocznie było to 30%. Świetny wynik, nieprawdaż?
Szkoda tylko, że ten tzw. doradca wciska Ci sprzedażowy kit, którego nauczono go na szkoleniach sprzedażowych, bo zależy mu na tym, aby naciągnąć jak największą ilość klientów („zalety” systemu prowizyjnego) ;)
Jeżeli Tobie również wydaje się, że 300% w 10 lat to 30% rocznie, nic dziwnego. Popełniasz popularny błąd polegający na tym, że nie bierzesz pod uwagę Świętego Graala matematyki finansowej, jakim jest procent składany.
Nie bez powodu Albert Einstein powiedział kiedyś:
„Największym wynalazkiem ludzkości jest procent składany” – Albert Einstein
Pamiętaj bowiem, że procentów w matematyce się nie dodaje, nie odejmuje, nie mnoży i nie dzieli. Prześledźmy to na przykładzie, abyś wiedział o czym dokładnie mówię.
Załóżmy, że masz w kieszeni 100 zł, które wpłacasz na lokatę ze stopą procentową 10% w skali roku (nie istotne, że dziś nie ma takich lokat, przyjąłem 10% dla prostoty obliczeń ;) ). Za rok dostaniesz zatem 110 zł (100 zł + 0,1*100 zł). A co, jeżeli tą kwotę wpłacisz na kolejny rok?
Na koniec drugiego roku dostaniesz 121 zł (110 zł + 0,1*110 zł). To ile wyniosła Twoja dwuletnia stopa zwrotu?
Zgadza się. Wyniosła 21%, bo wpłaciłeś 100 zł, a dostałeś 121 zł (121 zł/100 zł -1 ). A przecież „powinno” wyjść 20% (bo 10% + 10% to 20%).
To skąd się zatem wzięła ta bonusowa złotówka? Odpowiedź jest oczywista. To Odsetki z pierwszego roku ją wygenerowały. A dokładnie te dodatkowe 10 zł odsetek z pierwszego roku (0,1*10zł = 1zł).
To właśnie jest procent składany, który większość ludzi pomija. W powyższym przykładzie była to tylko złotówka. Ale pamiętaj, że potęga procentu składanego rośnie wraz ze wzrostem rocznych stóp zwrotu.
Jak zatem obliczyć roczną stopę zwrotu ze stopy kilkuletniej?
Poniżej wzór. Jego wyprowadzenie nie jest szczególnie skomplikowane, ale celem tego wpisu nie jest prowadzenie akademickich wywodów, ale dostarczenie Ci podstawowego miernika opłacalności inwestycji, który będziesz mógł szybko wykorzystać w praktyce.
ERSP = (1 + SP)^½ - 1
Gdzie:
ERSP – efektywna roczna stopa procentowa (zwrotu)
SP – całkowita n-letnia stopa procentowa (zwrotu)
n – ilość lat inwestycji (może być wyrażona również wartością ułamkową: np. ½ = 6 miesięcy)
Jak widzisz z przekształcenia wzoru pierwiastkowanie, to inaczej potęgowanie z wykładnikiem ułamkowym. Jeżeli jeszcze się nie wyłączyłeś, to wykładnikiem jest ta mała cyferka w indeksie górnym za nawiasem ;)
Zauważ, że powyższy wzór każdą n-letnią stopę procentową sprowadza do rocznej stopy procentowej, dzięki czemu uzyskujesz obiektywny i porównywalny z innymi miernik opłacalności projektu inwestycyjnego, niezależnie od częstotliwości kapitalizacji (czyli częstotliwości naliczania odsetek – np. raz na miesiąc, raz na kwartał, raz na 2 lata itd.).
Jeżeli bowiem przykładowo kapitalizacja przebiega w okresach półrocznych, to n wynosi w tym przypadku ½. Ponieważ odwrotnością ½ jest 2, do wzoru podstawisz w wykładniku liczbę 2. Sprawdźmy na naszym przykładzie, czy wzór działa prawidłowo:
ERSP = (1 + 21%)^½ - 1 = (1,21)^½ - 1 = 1,1 - 1 = 0,1 = 10%
Wygląda na to, że jest ok. 21% w dwa lat to 10% rocznie.
Jak już wspominałem powyższy wzór wykorzystujący procent składany działa prawidłowo również dla kapitalizacji o większej częstotliwości niż rok. Jeżeli np. w pół roku jesteś w stanie wypracować 10% stopę zwrotu, to jaka jest twoja efektywna roczna stopa zwrotu? Oczywiście 21% (to jest de facto to samo, co obliczyłem powyżej, ale liczone od drugiej strony). Dla porządku podstawmy dane do wzoru, choć właściwie nie ma tu czego liczyć (wykładnikiem w tym przypadku jest 2, ponieważ liczba ta jest odwrotnością ½):
ERSP = (1 + 10%)^2 - 1 = (1,1)^2 - 1 = 1,21 - 1 = 0,21 = 21%
Obliczmy zatem jaka jest efektywna roczna stopa procentowa, jeżeli w 10 lat wypracowałem 300%. Podstawmy dane do naszego wzoru:
ERSP = (1 + 300%)^0,1 - 1 = (4)^0,1 - 1 = 1,1487 - 1 = 14,87%
Niecałe 15%? Przecież to ponad 2 razy mniej niż obiecywane przez „doradcę finansowego” 30%
No właśnie. Po co pokazywać klientowi prawdę, skoro można przedstawić mu piękną i złudną wizję 30%. To wygląda znacznie lepiej niż niespełna 15%, nieprawdaż? ;)
Pamiętaj, że czym większa roczna stopa zwrotu, tym większa przepaść między efektywną roczną stopą procentową, a prostym rachunkiem polegającym na podzieleniu stopy procentowej przez ilość lat inwestycji!
Wskaźnik ERSP to najprostszy i podstawowy wskaźnik porównawczy. Idealny w podjęciu decyzji, czy projekt inwestycyjny jest wart Twojej uwagi, ponieważ jest obiektywny i prosty do obliczenia. Dlatego gorąco Ci go polecam.
Czy wiesz już jak łatwo sprowadzać do wspólnego mianownika różne inwestycje i porównywać je, wykorzystując do tego procent składany? Mam nadzieję, że tak :)
